Aprendiendo Polinomios y operaciones

Monday, July 04, 2005

PREGUNTAS ABP ENSEÑANDO POLINOMIOS Y OPERACIONES CON POLINOMIOS
The Magic:


1.-Define Polinomio en R

2.-Aplicaciones

3.-Investiga sobre:

3.1 Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto

3.2 Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas.

3.3 Polinomios especiales

3.4 Operaciones con polinomios:
  • Adición
  • Sustracción
  • Multiplicación
  • Productos notables: casos, Identidades de Legendre

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm

3.5 Ejercicios y problemas aplicativos.

Desarrollo

1.- Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica (Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valoresindeterminados con constantes y cifras), formada solamente por la suma de términos de la forma: axn , donde "a" es cualquier número y "n" es un número entero no negativo.

Además un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

3x3 - 2x + 5

Un polinomio es una función de la forma

f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0

donde x es una variable escalar, n es un entero no negativo y los a0,...,an son escalares fijos que reciben el nombre de coeficientes del polinomio f. La potencia más alta de x (n si el coeficiente an es distinto de cero) se denomina grado de f.

Componentes de un polinomio:
  • Se llama término a cada uno de los distintos grupos que componen un polinomio y que vienen precedidos por un signo + ó -.
  • Se llama grado de un término al exponente con el que figura la indeterminada en ese término (Factor numérico del mismo).
  • Se llama término constante al coeficiente numérico que no contiene variable, solamente posee coeficiente.

Fuentes de consulta:

"Mismates"; POLINOMIOS; http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#def.

"Descartes"; Leoncio Santos Cuervo, POLINOMIOS (1) ; http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#polino

POLINOMIOS; http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htm

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio"

2.- La aplicación de los polinomios es muy amplia en los campos de:

  • La ciencia.
  • Ingenieria.
  • Abministración.
  • Arquitectura.
  • Matemática.
  • Algebra.

También son importantes en:
- La informática
- En los formateos que utilizan códigos e incógnitas, por eso los informáticos utilizan los polinomios constantemente.

http://www.scielo.org.pe/scielo.php?pid=S1810-99932004000200008&script=sci_arttext&tlng=es

3.1 En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación a cada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido a toda la expresión).

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.

Grado Relativo de un monomio:

El grado relativo de un monomio no es otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. (La parte numérica no tiene ninguna importancia).

Ejemplo:

4a3b2

GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Grado Absoluto de un monomio:

El grado absoluto de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras.

4a3b2

GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)

3.2 Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Grado de un polinomio:Es el grado del término de mayor grado.

  • El término de primer grado se llama término lineal.
  • El término de grado cero se denomina término independiente.

Grado Relativo de un polinomio:

El grado relativo de un polinomio es el exponente que afecta a cada letra teniendo en cuenta que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica.

El grado relativo de un polinomio esta representado por el mayor exponente de dicha letra o variable.

Emplo:

4a3b2 +5a5b1

  • GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
  • GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

*Los grados relativos no son necesariamente del mismo término.

Grado Absoluto de un polinomio:

El grado absoluto de un polinomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras ero teniendo en cuenta que sólo se tomara el valor mayor de los resultados que obtengas. (Se trabaja independientemente cada uno de los terminos y se suma los exponentes).

4a3b2 +5a5b1

Primer termino= 3+2 sumados dan 5.

Segundo termino= 5+1 sumados dan 6.

GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

Grado de las operaciones algebraicas:

El grado de una operacion algebraica se determina después de realizar operaciones indicadas:

  • Grado de un producto: Se suman los grados de los factores.
  • Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor.
  • Grado de una potencia: Está dada por el grado de la base multiplicado por la potencia.
  • Grado de una raiz: Está dado por la divicion del grado del radicando entre el índice de la raíz.

http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htm

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

3.3 Polinomios especiales:

1.- Polinomios homogéneos: Son aquellos cuyos términos monomios tiene igual grado.(Al restarlos obtenemos un polinomio nulo).

Grado absoluto = Grado de homogeneidad

2.- Polinomio Heterogénio:Son aquellos cuyos términos monomios tiene tdifernete grado.(Al sumarlos obtenemos un polinomio nulo).

3.- Polinomios Completos: Un polinomio completo con respecto a una letra es cuando contiene todos los exponentes consecutivos desde el más alto, al más bajo.

Un polinomio es completo si aparecen en todas potencias menores de la variable, apartir de la mayor de ellas. (En caso de ser necesario se completa agregandole con coeficiente nulo los términos faltantes. ejemplo:

6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5

4.- Polinomios Ordenados: Cuando los monomios que lo componen están escritos en forma creciemte o decresiente según sus grados.

Es aquel que con respecto a la letra llamada

5.- Polinomio Mónico:Si su coeficinente principal es 1. (El coeficiente su mayor término es 1)

6.- Polinomios Idénticos: Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo grado y los términos de igual exponente en x tienen los mismos coeficientes.

7.- Polinomio idénticamente nulo: Cuando todos sus coeficientes son nulos.

P(x) es equivalente a "0"

http://matematicaparatodos.com/QUINTO/5_09POLINOMIOS.pdf

http://www.ingreso.ing.unlpam.edu.ar/U2Polinomios(teoria).pdf

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#phomogen

3.4

Adición: Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.

Para que entiendas mejor:

Para sumar dos polinomios se agrupan los

Términos del mismo grado y se suman sus

Coeficientes. El resultado es otro polinomio.

Ejemplos:

Sean los polinomios:

P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1

Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2

Determinaremos el polinomio suma.

Aplicando la regla

P(x) + Q(x) =

= -2 x4 + (5 + 3) x3 – 6 x2 + (-3 –5) x + (1 – 2)=

= -2 x4 +8 x3 – 6 x2 – 8x - 1

Disposición práctica

-2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1

3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2

-2 x4 +8 x3 - 6 x2 – 8 x - 1

Sustracción: La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplos:

Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el polinomio opuesto de Q(x).

P(x) - Q(x) = P(x) + [- Q(x)]

Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 y Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2

Determinaremos el polinomio diferencia de dos formas diferentes.

Aplicando la regla

P(x) - Q(x) =

= -2 x4 + 5 x3 - 3 x + 1 + (-3) x3 + ( 6)x2 + ( 5) x + 2 =

= -2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2x + 3

Disposición práctica

-2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1

-3 x3 + 6 x2 + 5 x + 2

-------------------------------

-2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2 x + 3

Multiplicación: Para la multiplicación se tienen que multiplicar los términos entre ellos.

Ejemplos:

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los coeficientes de los términos de igual grado.

Para operar se deben tener en cuenta las propiedades:

Distributiva del producto sobre la suma de números reales y del producto de potencias de la misma base.

Sean nuevamente los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 y Q(x) = 3 x2 – x + 2, determinaremos ahora el polinomio producto P(x).Q(x) también de dos formas distintas.

Aplicando la regla

P(x).Q(x) = P(x) 3 x^2 + P(x) (-x) + P(x) 2 =

= (-2 x^4 +5 x^3 – 3 x + 1) 3 x^2 + (-2 x4 +5 x^3 – 3 x + 1) (-x) + (-2 x^4 +5 x^3 – 3 x + 1) 2 =

= - 6 x^6 + 15 x^5 - 9 x^3 + 3 x^2 + 2 x^5 – 5 x^4 + 3 x^2 – x –4 x^4 + 10 x^3 – 6x + 2 =

= - 6 x^6 + 17 x^5 - 9 x^4 + x^3 + 6 x^2 – 7 x + 2

Disposición práctica

-2 x4 +5 x3 – 3 x + 1

3 x2 – x + 2

- 4 x4 + 10 x3 + 0 x2 - 6 x + 2

2 x5 – 5 x4 + 0 x3 + 3 x2 – x

-6 x6 + 15 x5 + 0 x4 – 9 x3 + 3 x2

- 6 x6 + 17 x5 – 9 x4 + x3 + 6 x2 – 7x + 2

Productos notables:

Producto algebraico que responden a una regla cuya aplicacion simplifica la obtencion del resultado.

Los productos notables más importantes son:

  1. Binomio de Suma al Cuadrado

    ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

  2. Binomio Diferencia al Cuadrado

    ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

  3. Diferencia de Cuadrados

    ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  4. Binomio Suma al Cubo

    ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

    = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

  5. Binomio Diferencia al Cubo

    ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

  6. Suma de dos Cubos

    a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

  • Diferencia de Cubos

    a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

  • Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

    ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

  • Trinomio Suma al Cubo

    ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

  • Identidades de Legendre

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

  • Producto de dos binomios que tienen un término común

    ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

  • Bibliografía:

    Polinomios; Wanadoo;

    http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

    Operaciones con polinomios; Brinkster; http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#multipl

    Operaciones entre polinomios; Adobe Acrobat; http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf

    Productos Notables; http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

    Productos notables; JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO; http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml

    3.5 Ejercicios y problemas aplicativos:

    1. Dados los polinomios en x sobre R:

    • p(x) = 2x3 + 5x2 - 3x + 8
    • q(x) = 4x2 + 7x - 3.

    Encontrar:

    a) p(x) + q(x),

    b) p(x) · q(x)

    c) p(x) - q(x)

    Solución:

    a) p(x) + q(x) = (2+0)x3 + (5 + 4)x2 + (-3 + 7)x + 8 - 3

    ................... = 2x3 + 9x2 + 4x + 5

    b) 8 - 3x + 5x2 + 2x3

    -3 + 7x + 4x

    ---------------------------------

    -24 + 9x - 15x2 - 6x3

    56x - 21x2 + 35x3 + 14x4

    32x2 - 12x3 + 20x4 + 8x5

    -------------------------------------------

    -24 + 65x - 4x2 + 17x3 + 34x4 + 8x5 = p(x) · q(x)

    c) p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)) =

    ........................ = (2- 0)x3 + (5 - 4)x2 + (-3 - 7)x + 8 + 3

    = 2x3 + x2 - 10x + 11

    Ejercicio 2:

    1. Considere los siguientes polinomios :

    ; ; ;

    ; ;

    Determine el polinomio que representan :

    a) p(x) + q(x).

    b) p(x) - h(x).

    c) r(x)× h(x).

    d) s(x)+ t(x).

    Solución

    a)

    ,

    entonces,

    .
    b)

    ,

    entonces,

    .

    c)


    ,

    donde los se han obtenido usando la definición iii) de la sección 3.2.

    s(x)+ t(x) = 4x - 5.

    Ejercicio 3:

    http://www.eneayudas.cl/prnotentrada.htm#ejyej

    http://docencia.mat.utfsm.cl/~avassili/MAT-021/polinomios.pdf